在海边读 Knuth

九月初请了四天假去海边，行李箱里塞了一本最不适合度假的书：Donald Knuth 的《计算机程序设计艺术》第一卷。朋友看到以后笑了很久，问我是不是打算在沙滩上推公式。答案是：是的，而且推得很开心。这篇是那四天的读书笔记，也是一点关于“慢书”的感想。

《计算机程序设计艺术》（The Art of Computer Programming，下文简称 TAOCP）的故事本身就很像一个关于“慢”的寓言。Knuth 在 1962 年开始写它，最初只打算写一本讲编译器的书；写着写着，大纲膨胀成了七卷。第一卷《基本算法》在 1968 年出版；从动笔算起，六十多年过去了，这套书仍然没有写完。

我书架上这本第三版已经放了好几年，每次翻开都卡在第一章的数学准备里。平时读不下去的原因很简单：它要求你停下来。读一页，算一页，有时一个习题就是一整个下午。而海边的四天，恰好什么都不缺，就缺需要停下来的东西。

TAOCP 最有名的设计之一，是给每道习题标上难度等级。我在沙滩上抄了一份，贴在书的扉页上：

• 00：看完题目就能回答；
• 10：简单题，想一分钟左右；
• 20：中等难度，大概要十五到二十分钟；
• 30：有一定难度，可能要花上几个小时；
• 40：相当难，足够当一学期的课程项目；
• 50：研究问题，写书的时候还没有人完全解决。

等级前面还可能有个 M，表示偏数学；HM 表示需要高等数学；有些题前面画着一个小三角，表示特别推荐。这套等级最打动我的地方，是它的诚实：它不假装每道题都同样重要，也不假装每个读者都该做完所有的题。它只是告诉你每道题的“价钱”，然后让你自己决定花多少。

那四天里，我做完的最难的一道题是 22 级。很普通的成绩，但做出来的那一刻，海风都好像更凉快了一些。

第一卷的第一个算法是欧几里得算法，Knuth 叫它算法 E。它只有三步：求余数；余数为零就结束；否则把除数和余数挪到前面，回到第一步。用 Python 写出来是这样：

def gcd(m: int, n: int) -> int:
    """TAOCP 第一卷的算法 E：欧几里得算法，要求 m、n 都是正整数。"""
    while True:
        r = m % n  # E1：求余数
        if r == 0:  # E2：余数为零？
            return n
        m, n = n, r  # E3：互换，回到 E1

紧接着，Knuth 列出了一个算法应当具备的五个性质：有穷性、确定性、输入、输出、可行性。坐在海边读这一段的时候，潮水正在退。我忍不住想，潮汐算不算一个算法？它有输入（月亮和太阳的位置），有确定的规则，每一步都“可行”，却没有有穷性——它永远不会停。在 Knuth 的定义里，这样的过程只能叫“计算方法”，不能叫算法。

我很喜欢这个区分。一个算法之所以是算法，是因为它会结束；而读书这件事，大概更接近潮汐。

Knuth 有个流传很广的习惯：谁第一个发现他书里的错误，就会收到一张 2.56 美元的支票。按他的说法，这是“一个十六进制美元”。很多收到支票的人从来没有兑现过，而是把它装裱起来挂在墙上。

我当然没有找到任何错误。回程的高铁上，我数了数书页边上的铅笔痕迹，四天一共读了不到四十页。按这个速度，读完第一卷也要两个多月——前提是每天都在海边。可我并不着急：这套书 Knuth 写了六十多年，读者花上几年慢慢读，好像也说得过去。