1912 年 2 月 12 日，圣彼得堡的一位数学家给圣主教公会写了一封信，请这个俄国东正教会的最高机构把自己开除出教会。

理由他也替公会想好了。他写过一本教科书《概率论》，书里说，那些据说发生在古时候的离奇故事都该极度怀疑，宗教里的也不例外。

那时的概率论教科书照例有一节，讲证词和传说有几分可信。一件事越离奇，本来就越不像真的。要是它还是从亲眼看见的人那里一代一代转述下来的，那么每多转一道手，就多一分走样的可能。圣经里的那些神迹，这两条都占全了。那一节的公式马尔可夫自己并不看重，可是这个结论，在他看来是明摆着的。

信的落款是"院士 А. 马尔可夫"。

安德烈·马尔可夫这一年五十五岁，是切比雪夫的学生，师徒这一派在概率论里被称作彼得堡学派。

在彼得堡，他的硬脾气是出了名的。1902 年，沙皇下令撤销高尔基刚当选的名誉院士，院长以科学院的名义照办了。马尔可夫写了一份要在全院大会上宣读的抗议，院长不许他念，他就递了辞呈。第二年，他又给科学院写了一份声明，说自己不请求任何勋章，也不愿再被授勋。

当时的人给他起了个外号，叫"不依不饶的安德烈"。

公会在 2 月 24 日讨论了他的信，决定先派人去劝一劝。来的是一位司祭长。司祭长是来谈灵魂的，马尔可夫倒是可以谈，不过只谈数学。

劝导当然没有结果。彼得堡都主教在案卷上批道，"马尔可夫先生应视为已脱离教会，从东正教徒名单中除名"。公会最终没有用"开除"这个词。据后来研究这批档案的学者转述，公会里当时有人说，要是学托尔斯泰的先例正式开除他，未免太抬举马尔可夫了。

事情到秋天还没完。公会又要查清他父母是谁、在哪里受的洗。马尔可夫拒不提供，科学院说没有这类材料，公会只好去问警察局和彼得堡大学。据他儿子回忆，右翼报纸为这件事骂了他好一阵。

他拿去向公会作证的那本《概率论》，第二年要出第三版。马尔可夫打算在新版的最后加一个例子，为此，他要把普希金的诗体小说《叶甫盖尼·奥涅金》开头的两万个字母，一个一个数过去。

一个连教会都不放在眼里的数学家，为什么要去数一部诗里的字母？

用数学证明自由意志

十九世纪，随着近现代的社会生产力提高，欧洲各国开始年年统计自己的国民，数字攒多了，有人看出了一件怪事。一位比利时统计学家发现，每年发生多少起谋杀几乎是个定数，连用哪一类凶器，比例都年年差不多。

一位英国史学家又翻出了伦敦和巴黎邮局的年报。每年有多少封信，寄信人忘了写地址就投进了邮筒，这个数目也是年年相差无几。

杀人往往出于一时冲动，忘写地址更是一时疏忽。可这些看上去全在个人一念之间的事，一放到整个国家里，就准得像天文台算出来的星表。那么，人的选择还算不算自己做的？要是每年该有多少人行凶早有定数，自由意志会不会只是一种错觉？

帕维尔·涅克拉索夫觉得，自己找到了答案。

他和马尔可夫是梁赞同乡，比他大三岁，走的却是另一条路。他生在梁赞乡下一个神父家里，先上神学校，后来才进莫斯科大学学数学，一路做到了校长。马尔可夫在彼得堡不信神、跟沙皇作对，涅克拉索夫则站在教会和皇上一边。

他的答案，是把问题整个倒过来。

他手里的武器是大数定律。这条定律出自1713年出版的瑞士数学家雅各布·伯努利的遗著，说的是偶然的事重复得多了，结果就会稳下来。抛十次硬币，正面可能出现七次；抛一万次，正面的比例就会稳稳地靠近一半。

涅克拉索夫抓住的，是硬币的一个特点，每一次抛都和上一次毫不相干。他说，大数定律只对这样相互独立的事件成立。社会统计既然这么稳，就说明每个人的行为也是相互独立的，谁也没被谁左右，这正是自由意志。统计越稳，越证明人是自由的。

那些叫人不安的数字，到了他手里，反倒成了自由意志的证据。1902 年，他把这套论证写成了一本书。

在马尔可夫看来，这是拿数学去给神学帮腔，更要命的是，帮腔的数学本身就是错的，大数定律从来不需要独立这个前提。1910 年，他在给一位同行的明信片上，干脆把涅克拉索夫这些年的工作叫作"数学的滥用"。

光骂不够，数学家最需要的还得是证明。其实早在 1906 年，马尔可夫就造出了一样新东西。那是一串前后牵连的事件，其中每一步的结果都要看上一步。打个比方，明天下不下雨，要看今天下没下雨。

这样的一串事件，没有一个是独立的。可马尔可夫证明，日子一长，下雨天所占的比例照样会稳稳地停在一个数上。大数定律不需要独立，涅克拉索夫的论证从第一步就站不住了。这串东西，就是我们今天说的马尔可夫链，不过这个名字要到 1926 年才有人叫出来。

那篇论文的最后一句说，量的独立性不是大数定律成立的必要条件。涅克拉索夫的名字，通篇一次也没有出现。

此后两人在《数学汇编》上你来我往，一直吵到 1912 年。涅克拉索夫后来不再说大数定律能推出自由意志，可几年以后，他还是骂马尔可夫是"泛物理主义者"。

在他们俩之外，几乎没有人留意这场官司。马尔可夫的链只活在纸面上，1907 年和 1911 年推出的公式，都没拿任何真实的数据检验过。在旁人看来，这不过是数学家自己造的玩具。

他缺一个例子，一个在现实里明明白白不独立、却又稳稳当当服从大数定律的例子。

麻烦的是，马尔可夫向来瞧不上应用。1910 年底他还在信里说，自己不会离开能力毫无疑问的领域一步。

两年后，他还是迈出了这一步。

写给丘普罗夫的信

1913 年 1 月 15 日，马尔可夫给丘普罗夫写了一封信。

丘普罗夫是彼得堡工学院的统计学家，比马尔可夫小十八岁。两人从 1910 年开始通信，留下来的有一百多封。马尔可夫骂涅克拉索夫"数学的滥用"的那张明信片，就是寄给他的。

这封信一开头就问，知不知道今年是大数定律发表两百周年，该不该纪念一下。马尔可夫自己的打算，是出一个大幅扩充的新版《概率论》。接着他说，自己做了一项"独创的统计研究"，准备拿它给全书收尾，研究的是一串两万个字母。

他还问丘普罗夫，别处有没有见过类似的例子。丘普罗夫怎么回的，我们已经无从知道，他 1913 年写给马尔可夫的信一封也没有留下来。

八天以后，马尔可夫就在科学院宣读了这项研究。

这两万个字母，就是《叶甫盖尼·奥涅金》的开头。

四十张小表

四十来年以后，马尔可夫取了《奥涅金》第一章的全部，加上第二章的前十六节。他先把标点和空格都去掉，又去掉了 ъ 和 ь 这两个本身不发音的字母。剩下的每一个字母，不是元音就是辅音。在他眼里，这是两万次前后相连的试验，每一次只有两种结果。

要是把它看成一份语言模型的训练材料，这大概是史上最寒酸的一份，一共两万个字母，只分两种状态，全靠手数。

接下来全是笨功夫。他把两万个字母每一百个分成一组，每组抄成十行十列的方阵，一列一列地数元音，再把第一列和第六列、第二列和第七列配成对加起来。这样的小表他一共做了四十张，每张管五百个字母。

每张表的右下角还留了一格，填上总数减去两百的结果，横着加和竖着加必须对得上，对不上就说明哪里数错了。论文印出来的时候，这四十张小表挤满了一整页。

马尔可夫第一轮数下来，每一百个字母里平均有 43.19 个元音，打头的几组依次是 42、46、40、44、43、44、45、43。换句话说，随手指一个字母，它是元音的概率大约是 0.432。

麻烦出在这些数的起伏上。假如字母像抛硬币那样一个一个独立地冒出来，每组的元音数应该忽多忽少，晃得相当厉害。实际的数字却规矩得出奇，按他的计算，起伏只有独立情形下的五分之一左右。这些字母安分得过头了。

那牵连在哪儿？他回到这两万个字母里，去数相邻的两个字母。元音后面紧跟着元音的情形，一共只有 1,104 次。换算成概率，一个元音后面再出现元音的可能是 0.128，而一个辅音后面出现元音的可能是 0.663。

要是字母之间毫无关系，这两个数都应该等于 0.432，"元音接元音"应该有三千七百对上下，实际只有一千一百多对，不到三分之一。论文里的说法是，一个字母是元音的概率，随它前面是元音还是辅音而显著改变。

这个结论，说俄语的人大概谁都不会意外，元音和辅音本来就爱交替着出现。可放回那场官司里，分量就不一样了。普希金的字母一个牵着一个，谁也做不了自己的主，可每一百个字母里的元音，组组都在 43 个上下，稳得很。照涅克拉索夫的逻辑，统计稳定就说明个体自由，那普希金的元音也该有自由意志了。

论文里没提涅克拉索夫一个字，马尔可夫只是接着往下算。他先用自己 1907 年的公式，只考虑前一个字母，算出起伏应该是独立情形的十分之三左右。

再把前两个字母也算进去，他又数出三个元音连在一起的有 115 处，三个辅音连在一起的有 505 处，用 1911 年的公式算出来是 0.195。实测的是 0.208。

他还做了一组对照。他把同样的两万个字母换一种分法，不再按原来的顺序，而是隔四个字母取一个，这样一来，相邻的字母就被拆散了。这时再算，起伏涨到了独立情形的 1.18 倍，跟抛硬币差不多。

1913 年 1 月 23 日，星期四，马尔可夫在科学院物理数学部的会议上宣读了这篇论文。那天会场上坐着谁，听的人有什么反应，都没有留下记录。论文是这样结尾的："当然不能说，我们的例子完全满足理论的全部条件；但另一方面，几乎无法怀疑，我们注意到的数字吻合并非偶然。"

2013 年，一位俄罗斯作者用电脑把同一段文字重数了一遍，元音 8,639 个，马尔可夫数的是 8,638 个。按马尔可夫说的范围一路数下去，第两万个字母正好落在第二章第十六节的最后一行，Прилежно юноше внимал，"专心地听那个年轻人说话"。

没有人在听

同年出版的第三版《概率论》题献给大数定律两百周年，全书最后一节，就是《奥涅金》的例子。这本书的第二版，正是他前一年拿去向公会证明自己不信神的那一本。

那年 12 月 1 日，科学院为大数定律开了纪念会，马尔可夫是三位报告人之一。他在报告的最后提起伯努利的墓碑。

伯努利学阿基米德，要求在自己的墓碑上刻一条对数螺线，再配一句拉丁文 Eadem mutato resurgo，意思是纵然改变，依然复起。马尔可夫说，伯努利去世两百多年了，可他活在、也将一直活在自己的定理里。

两天后，马尔可夫写信给丘普罗夫发了一通火，嫌他的报告把统计学摆在前头，又说自己只是因为一个数学定理满了两百年才不得不讲，讲稿不打算发表。两人的通信就此断了一年多。

他后来又找了一部书来数，阿克萨科夫的小说《巴格罗夫孙子的童年》，这一回数了十万个字母，用的是他自己手抄的稿子。

在俄国以外，几乎没有人注意到这些。英国经济学家凯恩斯 1913 年评过这本书的德译本，觉得里面没有多少明显的新东西。

再往后，俄国也顾不上这些了。先是世界大战，接着是革命。1917 年到 1918 年的那个冬天，马尔可夫带着家人去了莫斯科州的小城扎赖斯克，在当地中学免费教数学，那时他一只眼睛已经得了青光眼。1922 年 7 月，他在彼得格勒去世。

直到 1947 年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫回头看这段历史，还说彼得堡学派的思想在西方接受得慢，部分原因也许就是马尔可夫只拿《奥涅金》里元音和辅音的分布来说明他的链。

马尔可夫到死都没把这两万个字母当成语言问题，他要对付的是大数定律和涅克拉索夫。他不会知道，有一天会有人把这个笨办法倒过来用，照着字母和字母、词和词之间的牵连，一个接一个地往下写，写出从来没有人写过的句子。

第一个这么做的人，在马尔可夫宣读论文三年后，出生在美国密歇根州的一个小镇上。

参考

文中日期均为俄历，1913 年 1 月 23 日即公历 2 月 5 日。